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“Gestão e Negócios Sustentáveis”, de autoria de Superdotado Álaze Gabriel.
Disponível em http://gestaoenegociossustentaveis.blogspot.com
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APLICAÇÃO
CORPORATIVA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
RESUMO
A administração é um conjunto de normas
e funções elaboradas para disciplinar elementos de produção, que têm como
objetivo alcançar um resultado eficaz e retorno financeiro. Administrar envolve
a elaboração de planos, pareceres, relatórios, projetos, arbitragens e laudos,
em que é exigida a aplicação de conhecimentos inerentes à matemática.
Através do raciocínio lógico alcançado
pela matemática os administradores poderão tomar suas decisões financeiras e
analisarem os riscos. Dentro da administração a matemática possui sua
importância praticamente em todas as áreas, temos como exemplo a administração
de recursos humanos, na pequisa operacional, na administração de materiais,
logística, administração da produção financeira, contabilidade estatísticas e
outras, mas dentre todas estas, cabe ressaltar a importância que a matemática
financeira possui, que através da interpretação de dados podemos acompanhar as
diversas formas de pagamento de empréstimo, observar como ocorre a depreciação
dos bens patrimoniais, trabalhar com o financiamento de imóveis. É por falta de
planejamento e controle financeiro é que muitas empresas quebram no terceiro
ano de sua existência, apresentando insuficiência e inexistência de suporte
financeiro para sua organização, sendo indiscutivelmente necessárias de
informações do Balanço Patrimonial, no qual se contabiliza estes dados na
gestão financeira, se analisando detalhadamente para a tomada de decisão.. A
Estatística já nos permite a interpretação das planilhas e as variações a médio
e longo prazo.
Na vida pessoal, quando o administrador
aplica os conhecimentos matemáticos em seu cotidiano financeiro, alcançará a
melhor forma de administrar seus recursos.
1.
INTRODUÇÃO
Com diversas aplicações no mercado econômico, a
matemática financeira faz-se presente na rotina diária dos indivíduos,
especialmente no cotidiano dos gestores e profissionais que necessitem da mesma
para fins de tomada de decisão.
Com isso, pretende-se tratar os componentes desta com precisão para que o objetivo de transmitir o conhecimento e melhorar a vivência com os conteúdos sejam atingidos de forma eficaz e satisfatória. Ao dispor, apresentam-se as taxas de juros que movimentam as transações financeiras rotineiras e as formas para sanar todo e qualquer tipo de obtenção de capital para sustentabilidade econômica das organizações e/ou pessoas que venham a almejar ascensão comercial ou pessoal.
Com isso, pretende-se tratar os componentes desta com precisão para que o objetivo de transmitir o conhecimento e melhorar a vivência com os conteúdos sejam atingidos de forma eficaz e satisfatória. Ao dispor, apresentam-se as taxas de juros que movimentam as transações financeiras rotineiras e as formas para sanar todo e qualquer tipo de obtenção de capital para sustentabilidade econômica das organizações e/ou pessoas que venham a almejar ascensão comercial ou pessoal.
2. A
IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA NAS ATIVIDADES DIÁRIAS
A Matemática Financeira tem extrema importância para
a tomada de decisões na empresa e, sua aplicação quando bem desenvolvida, traz
maior rentabilidade possibilitando o processo de maximização nos resultados.
Certamente uma boa base desse conhecimento traz à compreensão de problemas.
A Matemática Financeira também pode ser aplicada em
diversas situações cotidianas como calcular as prestações de um financiamento
de um móvel ou imóvel optando pelo pagamento à vista ou parcelado, além de
fornecer o instrumental necessário à avaliação de negócios, de modo a identificar
os recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentáveis no caso de
investimentos financeiros ou de bens de capital.
Nas situações mais simples e corriqueiras do
dia-a-dia, como por exemplo, se você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investimento,
ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um
eletrodoméstico, você deve decidir se paga à vista mediante saque da aplicação
ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento oferecido pelo
vendedor, as ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-lhe a melhor
decisão.
Nas avaliações financeiras existe o binômio
risco-retorno, que é um problema da Matemática Financeira. Os riscos são
problemas da estatística e pode ser definido como a possibilidade de perda, diz
respeito apenas à possibilidade de ocorrer um resultado diferente do esperado.
Decisões com base em dados contábeis aumentam os riscos uma vez que se baseiam
em dados passados. Decisões devem ser tomadas com base nas expectativas
futuras, à luz das novas tendências e dos fluxos de caixa projetados.
3. REGIME
DE JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, a taxa percentual de
juros é calculada de acordo com o capital principal. Dessa forma, o rendimento
mensal mantém o mesmo valor. Esse tipo de correção monetária não é utilizado
pelo atual sistema financeiro, mas é peça fundamental para os estudos
relacionados à Matemática Financeira. A cobrança de juros está relacionada a
financiamentos, compras à prazo, aplicações bancárias, pagamento de impostos atrasados
entre outras situações relacionadas ao meio econômico.
No sistema de juros simples o rendimento é
calculado sobre o valor inicial, e deve-se usar a seguinte fórmula:
Js = (C*i*n)/100, onde:
Js – É o juros simples;
C – É o capital (inicial) da aplicação;
i – É a taxa
de juros a ser usada na aplicação;
n – É o tempo/período da aplicação.
4. REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Juros compostos são aqueles em que o juro do mês é
incorporado ao capital, constituindo um novo capital a cada mês para o cálculo
de novos juros. Esse tipo de rendimento é muito benéfico, sendo utilizado pelo
atual sistema financeiro. As instituições financeiras utilizam esse método de
capitalização nas aplicações financeiras, como na elaboração de financiamentos.
A fórmula ideal dos juros compostos, segundo o Superdotado Álaze Gabriel,
Tecnólogo em Processos Gerenciais, é:
Jc = C* (i*n+in), onde:
Jc – É o juros compostos;
C – É o capital (inicial) da aplicação;
i – É a taxa
de juros a ser usada na aplicação;
n – É o tempo/período da aplicação.
Exemplo de como os juros compostos age no
rendimento do capital aplicado. Qual será o montante produzido por um capital
de R$ 2.000,00 aplicados no regime de juros compostos, durante 8 meses, a taxa
de 2%?
Pela tabela fica visível a variação do capital a
cada início de mês, os juros produzidos no mês são incorporados ao capital
aplicado no mês seguinte. Essa prática é chamada de juros sobre juros. Outra
forma prática de calcular o montante produzido por uma aplicação é utilizando a
seguinte fórmula:
M = C*(1+i)n, sendo:
M – É o montante, ou o capital final da aplicação;
C – É o capital inicial da aplicação;
1 – É a representação da totalidade (100%) do
capital inicial a ser acrescido aos juros compostos para mensurar com precisão
o capital final (montante).
i – É a taxa de juros a ser usada na aplicação;
n – É o tempo/período da aplicação.
5.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
O Sistema de Amortização trata-se das diversas
formas que se pode recorrer para sanar empréstimos contraídos a partir da indisponibilidade
de recursos para investimento.
Amortização também pode ser entendida como, um
processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são
realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde
à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor,
podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o
saldo devedor.
Os principais sistemas de amortização são:
·
Sistema
de Pagamento único: um único pagamento no final;
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos
da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser
calculado pela fórmula: M = C (1+i)n. 
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em
bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
Sistema de Pagamento Único
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
312.000,00
|
||
2
|
12.480,00
|
324.480,00
|
||
3
|
12.979,20
|
337.459,20
|
||
4
|
13.498,37
|
350.957,57
|
||
5
|
14.038,30
|
300.000,00
|
364.995,87
|
0
|
Totais
|
64.995,87
|
300.000,00
|
364.995,87
|
|
·
Sistema
de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados;
O devedor paga o periodicamente valores variáveis
de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada
inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de
cada período.
Uso comum: Cartões de crédito.
Dado: O devedor pagará a dívida
da seguinte forma:
§
No final
do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros;
§
No final
do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros;
§
No final
do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros;
§
No final
do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros;
§
No final
do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros.
Sistema de Pagamentos Variáveis
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
30.000,00
|
42.000,00
|
270.000,00
|
2
|
10.800,00
|
45.000,00
|
55.800,00
|
225.000,00
|
3
|
9.000,00
|
60.000,00
|
69.000,00
|
165.000,00
|
4
|
6.600,00
|
75.000,00
|
81.600,00
|
90.000,00
|
5
|
3.600,00
|
90.000,00
|
93.600,00
|
0
|
Totais
|
42.000,00
|
300.000,00
|
342.000,00
|
|
·
Sistema
Americano: pagamento no final com juros calculados período a período;
O devedor paga o Principal em um único pagamento no
final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo
devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do
5o. período.
Sistema Americano
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
12.000,00
|
300.000,00
|
|
2
|
12.000,00
|
12.000,00
|
300.000,00
|
|
3
|
12.000,00
|
12.000,00
|
300.000,00
|
|
4
|
12.000,00
|
12.000,00
|
300.000,00
|
|
5
|
12.000,00
|
300.000,00
|
312.000,00
|
0
|
Totais
|
60.000,00
|
300.000,00
|
360.000,00
|
|
·
Sistema
de Amortização Constante (SAC): a amortização da dívida é constante e igual em
cada período;
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo
que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema
Financeiro da Habitação
Sistema de Amortização Constante (SAC)
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
60.000,00
|
72.000,00
|
240.000,00
|
2
|
9.600,00
|
60.000,00
|
69.600,00
|
180.000,00
|
3
|
7.200,00
|
60.000,00
|
67.200,00
|
120.000,00
|
4
|
4.800,00
|
60.000,00
|
64.800,00
|
60.000,00
|
5
|
2.400,00
|
60.000,00
|
62.400,00
|
0
|
Totais
|
36.000,00
|
300.000,00
|
336.000,00
|
|
·
Sistema
Price ou Francês: as prestações são iguais;
Todas as prestações (pagamentos) são iguais.
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de
consumo.
Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do
valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula:
Onde: i é a taxa ao período e n é o número de
períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:
P = K × Vf = 67.388,13
Sistema Price (ou Sistema Francês)
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
55.388,13
|
67.388,13
|
244.611,87
|
2
|
9.784,47
|
57.603,66
|
67.388,13
|
187.008,21
|
3
|
7.480,32
|
59.907,81
|
67.388,13
|
127.100,40
|
4
|
5.084,01
|
62.304,12
|
67.388,13
|
64.796,28
|
5
|
2.591,85
|
64.796,28
|
67.388,13
|
0
|
Totais
|
36.940,65
|
300.000,00
|
336.940,65
|
|
·
Sistema
de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e
Price;
Cada
prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas
Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do
Sistema Financeiro da Habitação. Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC)
÷ 2
n
|
PSAC
|
PPrice
|
PSAM
|
1
|
72.000,00
|
67.388,13
|
69.694,06
|
2
|
69.600,00
|
67.388,13
|
68.494,07
|
3
|
67.200,00
|
67.388,13
|
67.294,07
|
4
|
64.800,00
|
67.388,13
|
66.094,07
|
5
|
62.400,00
|
67.388,13
|
64.894,07
|
Sistema de Amortização Misto (SAM)
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
0
|
0
|
0
|
300.000,00
|
1
|
12.000,00
|
57.694,06
|
69.694,06
|
242.305,94
|
2
|
9.692,24
|
58.801,83
|
68.494,07
|
183.504,11
|
3
|
7.340,16
|
59.953,91
|
67.294,07
|
123.550,20
|
4
|
4.942,01
|
61.152,06
|
66.094,17
|
62.398,14
|
5
|
2.495,93
|
62.398,14
|
64.894,07
|
0
|
Totais
|
36.470,34
|
300.000,00
|
336.470,94
|
|
·
Sistema
Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o
primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida
onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o
primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação
financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das
amortizações Ak, k=1,2,3,...,n. Uso comum: Alguns financiamentos. Fórmulas
necessárias: Para k=1,2,...,n.
A
prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.
P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = 64.995,80 ×
(1-0,04)4 = 55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷
(1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷
(1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷
(1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷
(1-0,04) = 64.995,80
Sistema Alemão
|
||||
n
|
Juros
|
Amortização do
Saldo devedor |
Pagamento
|
Saldo devedor
|
0
|
12.000,00
|
0
|
12.000,00
|
300.000,00
|
1
|
9.791,84
|
55.203,96
|
64.995,80
|
244.796,04
|
2
|
7.491,68
|
57.504,13
|
64.995,80
|
187.291,91
|
3
|
5.095,67
|
59.900,13
|
64.995,80
|
127.391,78
|
4
|
2.599,83
|
62.395,97
|
64.995,80
|
64.995,80
|
5
|
64.995,80
|
64.995,80
|
0
|
|
Totais
|
36.979,02
|
300.000,00
|
336.979,02
|
|
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento
é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor.
6.
EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DOS CONTEÚDOS
Um título de valor nominal de R$2.250,00, foi
descontado 3 meses antes do seu vencimento. Qual o valor atual do título, sendo
à taxa de 2% ao mês com capitalização mensal, no regime de desconto racional
composto?
Dados:
N = R$2.250,00
i = 2% a.m. = 0,02
n = 3 meses
A = ?
A = N (1+i)-n
A = 2.250 (1+0,02)-3
A = 2.250 (1,02)-3
A = 2.250 x 0,942322335
A = 2.120,225253 = R$2.120,23
Na HP12C:
2250 / CHS / FV / 2 / i / 3 / n / PV
Alice, uma jovem investidora, obteve um montante
gerado a partir de um capital de R$6.230,00, quando aplicado à taxa de 1,8% ao
mês com capitalização mensal, durante 1 ano e meio. Qual foi o montante obtido
após o período?
Dados:
C = R$6.230,00
i = 1,8% a.m. = 0,018
n = 1 ano e meio = 18 meses
M = ?
M = C (1+i)n
M = 6.230 (1+0,018)18
M = 6.230 (1,018)18
M = 6.230 x 1,378668980
M = 8.589,107745 = R$8.589,11
Na HP12C:
6230 / CHS / PV / 1,8 / i / 18 / n / FV
Por meio dos cálculos, apresente um montante de
juros simples e outro montante de juros compostos, considerando um investimento
R$4.820,00 à taxa de 2% a.m, durante 8 meses, em ambas aplicações. (use as
fórmulas de montante simples e do composto, caso faça com a HP, escreva os
procedimentos que você utilizou para obter os resultados dos cálculos)
Dados:
C = R$4.820,00
i = 2% a.m. = 0,02
n = 8 meses
JUROS SIMPLES:
M = C [1+(i.n)]
M = 4.820 [1+(0,02 x 8)]
M = 4.820 [1+0,16]
M = 4.820 x 1,16
M = R$5.591,20
Na HP12C:
4820 / ENTER / 2 / % / 8 / x / +
Obs.: O montante final corresponde a R$5.591,20,
porém o montante somente dos juros corresponde a R$771,20.
JUROS COMPOSTOS:
FV = PV (1+i)n
FV = 4.820 (1+0,02)8
FV = 4.820 (1,02)8
FV = 4.820 x 1,171659381
FV = 5.647,398216 = R$5.647,40
Na HP12C:
4820 / CHS / PV / 2 / i / 8 / n / FV
Obs.: O montante final corresponde a R$5.647,40,
porém o montante somente dos juros corresponde a R$827,40.
Um corretor de imóveis recebe por mês o salário
fixo de R$1.200,00 e a cada imóvel vendido ele recebe 2% do valor do imóvel. No
mês de fevereiro, o corretor fez vendas no valor total de R$150.200,00. Qual
foi o salário do vendedor neste
mês?
mês?
Dados:
A = R$150.200,00
X = 2% = 0,02
B = R$1.200,00
A = R$150.200,00
X = 2% = 0,02
B = R$1.200,00
F(X) = AX x B
F(X) = 150.200 x 0,02 + 1.200
F(X) = 3.004 + 1.200
F(X) = R$4.204,00
Na HP12C:
150200 / ENTER / 2 / % / 1200 / +
150200 / ENTER / 2 / % / 1200 / +
7.
CONCLUSÃO
A Matemática Financeira tem extrema
importância para a tomada de decisões na mundo dos negócios e sua aplicação,
quando bem desenvolvida, traz maior rentabilidade possibilitando o processo de
maximização nos resultados. Certamente com uma boa base desse conhecimento traz
à compreensão de problemas. Segundo o professor da Fundação Getulio Vargas e
mestre em Economia Empresarial, Milton Juer, a Matemática Financeira também
pode ser aplicada em diversas situações cotidianas como calcular as prestações
de um financiamento de um móvel ou imóvel optando pelo pagamento à vista ou
parcelado.
A Matemática Financeira fornece o
instrumental necessário à avaliação de negócios, de modo a identificar os
recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentáveis no caso de
investimentos financeiros ou de bens de capital.Nas situações mais simples e
corriqueiras do dia-a-dia, como por exemplo, se você tem dinheiro em algum tipo
de poupança/investimento, ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um
carro ou um eletrodoméstico. Você deve decidir se paga à vista, mediante saque
da aplicação ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento
oferecido pelo vendedor.
As ferramentas da Matemática Financeira
vão indicar-lhe a melhor decisão.Nas avaliações econômico-financeiras existe o
binômio risco-retorno. Avaliação ou apuração do retorno de investimentos é um
problema da Matemática Financeira. Já o Risco é um problema da Estatística e
pode ser definido como a possibilidade de perda. Diz respeito apenas à
possibilidade de ocorrer um resultado diferente do esperado.Decisões com base
em dados contábeis aumentam os riscos uma vez que se baseiam em dados passados.
Decisões devem ser tomadas com base nas expectativas futuras, à luz das novas
tendências e dos fluxos de caixa projetados.Na área de Recursos Humanos, para
medir crescimento da folha, variação/evolução salarial, custo de benefícios,
encargos sociais, entre outros. A Matemática Financeira é ferramenta para
qualquer obra.
De forma simplificada, pode-se dizer que a
Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o
comportamento do dinheiro no tempo, a mesma busca ainda, quantificar as
transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável
tempo, ou seja, o valor monetário no tempo. As principais variáveis envolvidas
no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o
tempo.
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo,
sempre sobre o capital inicial, diz-se que há um sistema de capitalização
simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital
atualizado com os juros do período (montante), diz-se que há um sistema de
capitalização composta (Juros compostos). Na prática, o mercado financeiro
utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido.
Para finalizar, ressaltam-se os Sistemas de Amortização, que são utilizados pra liquidar dívidas de forma que, as partes envolvidas tenham poder satisfatório sobre as ações integradas na negociação.
Para finalizar, ressaltam-se os Sistemas de Amortização, que são utilizados pra liquidar dívidas de forma que, as partes envolvidas tenham poder satisfatório sobre as ações integradas na negociação.
Fontes:
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